Tính chất đường trung trực của tam giác, định nghĩa và bài tập

Đường trực tâm là khái niệm xuất hiện trong chương trình toán lớp 7 nhưng tính chất đường trực tâm tiếp tục được đưa vào bài tập nâng cao lớp trên. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp nội dung về tài sản trung bình của một đoạn thẳng và tính chất của ba đường trung trực của tam giác, chúng ta hãy cùng theo dõi.

1. Khái niệm về đường trung tuyến

Đường trung trực của một đoạn thẳng trong hình học phẳng là một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ở chính giữa của nó.

2. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Định lý 1 tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định lý 2 tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Công thức tính chu vi tam giác cân, tam giác vuông cân trong toán học

3. Đường trung trực của tam giác

Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác đó.

4. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Tính chất của 3 trực tâm của tam giác đều

Trong một tam giác, ba đường trực tâm sẽ đi qua một điểm (gọi là đồng thời). Điểm này có đặc điểm là cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn của tam giác.

Tính chất đường trung trực của tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, giao điểm của ba đường phân giác vuông góc là trung điểm của cạnh huyền.

Tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và chiều cao kẻ từ đỉnh đối diện với cạnh này.

trọng tâm là gì? Công thức tính trọng tâm của tam giác

5. 6 dạng bài tập tính chất đường vuông góc

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Lời giải: Ví dụ, để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, ta phải chứng minh d chứa các điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa đường vuông góc.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Lời giải: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng Định lý 1 về đường trung trực của một đoạn thẳng: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Dạng 3: Bài toán giá trị nhỏ nhất

Giải pháp:

+ Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng để đổi độ dài của đoạn thẳng đó thành độ dài của một đoạn thẳng khác bằng nó.

+ Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Bất đẳng thức tam giác phát biểu rằng trong một tam giác độ dài một cạnh phải nhỏ hơn tổng nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn của tam giác

Cách giải: Sử dụng tính chất giao các đường trung trực của tam giác.

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này luôn cách đều ba đỉnh của tam giác đã cho.

Dạng 5: Bài toán đường phân giác vuông góc của tam giác cân

Giải: Trong tam giác cân, đường trung trực của đáy vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của đáy.

Dạng 6: Bài toán đường phân giác vuông góc của một tam giác vuông

Giải: Trong một tam giác vuông, giao điểm của các đường phân giác trong tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

6. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

Có 5 cách chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng:

Cách 1: Hãy tiếp tục chứng minh đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm.

Cách 2: Chứng minh 2 điểm trên d cách đều hai điểm A và B.

Cách 3: Sử dụng thuộc tính đường trung tuyến, chiều cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất đối xứng trục.

Cách 5: Sử dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.

Cường độ điện trường là gì? Công thức tính cường độ điện trường và bài tập

7. Bài tập về tính chất đường phân giác trong góc có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC, tìm điểm O sao cho O cách đều ba điểm A, B, C cho trước.

Giá:

Câu 2: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh tam giác BDE bằng tam giác CDE.

Giá:

Câu 3: Cho hình bên, M là điểm tùy ý trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là đường trung trực của AC. So sánh tổng MA + MB với BC.

Giá:

8. Hướng dẫn vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Cách 1: Vẽ bằng compa

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB.

Bước 2: Quay hai đường tròn có tâm chính là hai đầu của đoạn thẳng có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng.

Bước 3: Vẽ đường nối giao điểm của hai đường tròn C và D trên, đó là đường phân giác của hai đường tròn.

Cách 2: Với thước và eke

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB.

Bước 2: Tiếp theo xác định trung điểm I của AB.

Bước 3: Vẽ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm I.

9. Một số câu hỏi về tính chất của đường vuông góc

– Số đường trung trực của một đoạn thẳng?

Trả lời: Đường trực tâm là đường thẳng chỉ đi qua trung điểm của đoạn thẳng và mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm. Vậy kết luận rằng một đoạn thẳng chỉ có một đường vuông góc.

– Cách viết phương trình đường trung trực:

Trả lời: Để viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng ta dựa vào Định lý 1: “Điểm nào nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó”. Tức là nếu điểm M thuộc đoạn thẳng AB thì ta có MA = MB.

Trên đây là tổng hợp các tính chất về đường trung trực của một đoạn thẳng và tính chất của ba đường trực tâm của một tam giác cùng các dạng bài tập thường gặp dành cho học sinh tham khảo. Chúc các bạn ứng tuyển thành công và đạt kết quả tốt trong học tập.